[センター数学ⅠA]設問別解説@まっさん

どうも、所長のまっさんです^^

生徒には「夏が受験の天王山や!」と勉強せぇせぇゆうてましたが、僕自身はBBQだ同窓会だと仕事もせずに夏を満喫しちゃいましたごめんなさい。

今回はセンター数学ⅠAの設問別解説をしていきたいと思います。(少し長くなるかも^^;

数学の解説になりますが、他の科目でも転用できる考え方や勉強法などを紹介しますので、数学が必要ないという学生さんも読んでみてください!

出題範囲

これから設問別の解説をしていくのですが、数学ⅠAを攻略するのに必要なスキルがわからないことには勉強しようにもできません。

どの科目でも同じですが、まずは出題される範囲はどんなものなのかをしっかりと押さえましょう

2019年度のセンター数学ⅠAは以下のような単元で出題されました。

第1問 [1] 数と式
    [2] 集合と命題
    [3] 二次関数
第2問 [1] 図形と計量
    [2] データの分析
第3問    場合の数と確率
第4問    整数の性質
第5問    図形の性質

*第1問と第2問は必答問題で第3問、第4問、第5問は3つの中から2つを選択
*得点配分は第1問と第2問が各30点、選択問題が各20点の100点満点

これまでの模試の結果を自己分析して、満点とれるところはもう勉強しなくて大丈夫。

満点とれてない単元は足りない知識や解き方を改めて、もしくは一から頭に入れなおす!

効率のいい勉強法とは足りない部分をしっかり把握して、そこを確実に埋めていく作業です。

すでに毎回満点とっている単元は問題集も気持ちよく解いていけますが、解いてて気持ちいいところだけを延々と繰り返すようではまったく成果はあがりませんのであしからず。

解けない問題を解けるようにしてこそのお勉強ですので、しっかり自己分析しましょうね^^

設問別解説

第1問 [1] 数と式

数学の基本となる計算問題がメインとなりますので、ここはなるべく落としたくない単元ですね。

有理化、因数分解、相加相乗関係、絶対値の外し方、不等式の解き方などの解き方をおさえるのはもちろん、満点を狙うなら、それらを計算ドリル的な問題集でやる際には、数そのものをしっかりと具体的に頭にイメージするように心がけましょう。

正答率の低い問題に、大小比較要素が入った問題があります。

√がついた数字や分数などを小数に変換して計算をすることで、あらゆる問題における計算結果の妥当性を判断する際にも役立ちますよ!

普段から小数で考える癖が身についてない学生さんも、同レベルの根号で比較したり、通分して分母を揃えて分子どうしを比較したりするテクニックは覚えておきましょう。

第1問 [2] 集合と命題

この単元が苦手という生徒は多いです。

ですが、ここ最近のセンター試験では比較的難易度低めの問題がでていますので、苦手だからと諦めず、最低限の知識だけは押さえておきましょう。

命題の必要条件・十分条件の問題だけに目が行きがちですが、その前に整数、自然数、有理数無理数などの性質や定義はしっかり覚えていますか?

そこをおさえていないと包含関係はおろか、集合の要素自体があやふやになってしまいますので問題は解けなくてあたりまえです。

それらは大丈夫という学生さんで、必要十分条件がわからないという方に少しだけ解説を。

x>3であることはx>5であることの____条件である。(xは実数)

シンプルな問題にしました。解けますかね?

まず押さえないといけないのは

p→qが偽で、q→pが真のとき、pはqであるための必要条件である。

p→qが真で、q→pが偽のとき、pはqであるための十分条件である 。

という定義です

これを踏まえて、わかりやすい日本語に変換して考えてみましょう。

「xが3より大きい数字ならば、xは5より大きい数字である」

明らかにおかしいですよね、、πとか4とかアウトです。

ということで、この命題は「偽」となります。

逆に、

「xが5より大きい数字ならば、xは3より大きい数字である」

こちらはあたりまえですね!

よってこの命題は「真」です。

このような関係性を把握して、上の問題の答えは「必要条件」となるんです。

とまぁ、定義から導いてもいいのですが、実際はそんなに複雑なもんでもありません。

xが3より大きい数字であることはxが5より大きい数字であるために必要な条件ですが、それで十分だとはいえません。

そうです、必要条件であるが十分条件ではないということです!

今回は条件が不等式で表してある問題を例にしましたが、いつも不等式とは限りません。

日本語でかかれている場合もあるでしょうし、有理数無理数がからんでくることもあります。

そういう場合こそ落ち着いて集合の包含関係をベン図を利用して整理して条件を導きましょう。

ちなみに、pであることがqであることの必要条件であるとき、qであることはpであることの十分条件となります。

主語がどっちかはすごく大事なことです。

第1問 [3] 二次関数

ここもなるべく落としたくない単元です。

落としたくないどころか、ここはなるはやで解いて他の設問を解く時間を稼ぐ単元にしたいところ。

問われる内容もワンパターンで、平方完成して頂点を求めグラフを描き、最大最小問題で締めくくるといったものばかり。

最大最小問題は、「aの値によってグラフ(軸)が移動するもの」「範囲の片方が移動するもの」「範囲の幅は決まっていて両端が移動するもの」の3つです。

追加で最大値Mと最小値mをaの関数と見たときにさらに最大最小問題として取り扱う場合もあるので、関数というものの捉え方をもう一度確認しておいてくださいね!

もうひとつ、二次関数の表し方に言及しておきます。

1 y=ax*2+bx+c

2 y=a(xーp)*2+q

3 y=a(x-α)(x-β)

二次関数には上の3つの表し方がありますが、それぞれの表し方には明確な使いどころがあります。

1はxに数字を代入するときに便利。y軸交点(0、c)

2は頂点の座標(p、q)がまるわかり。

3はx軸との交点(α、0)、(β、0)がわかる。

そして、情報が与えられた時にはそこから逆に二次関数を表せるようにもしておきましょうね^^

あ!!

二次関数簡単だからとあまり油断しすぎないように忠告しておきますね!!

aの範囲を見落としていたり、上に凸なのに下に凸のグラフで考えていて答えが合わずパニックに陥ることのないよう気を付けてください。

第2問 [1] 図形と計量

余弦定理(三平方の定理)、正弦定理、面積の公式、sinθcosθtanθの定義と90-θや180-θからの変換などは必須ですが、これらは覚えていて当たり前です。

九九と一緒でできないとどうしようもないものはさっさと身に付けてくださいね。

それらを覚えた上でも苦手な学生さんが多いこの単元、必要な知識はそんなに多くないのに正答率が低いのは図を描く能力の低さからだと思います。

ここでも、数字の具体的イメージがものをいいます。

3辺の長さがそれぞれ4、7、12の三角形を描きなさいといわれて描ける人はなかなかのセンスの持ち主ですので気を付けてください(笑)

センター試験はマークシートで答えるので、図をしっかりと描ければ計算なしで答えがわかったり、検算がしやすかったりと比較的攻略しやすい単元になります。

正弦定理の中に外接円の半径がからんでいたり、直角三角形の斜辺は円の直径にするとそれが外接円になったりと、円との相性がいいのでだいたい円も絡んできます

あらかじめ最後まで問題を読んで円がどこででてくるのかを把握した上、図を描くときは円から描く癖をつけておく。

あと、計算スペースを意識するあまりに図を小さく描きすぎる学生さんを多く見ますが、図形の単元のメインは図です。

計算なんかそれほど多くはないので、図を大きく描くように心がけてください。

最後にもうひとつだけ。

修正点が見つかった時に消しゴムで消してなんとか書き直そうと頑張る気持ちはわかりますが、バッサリと消して新情報をもとに新しい図を描いた方がいい場合がほとんどです。

図は何度も書き直す前提で薄く描くこともあわせて頭の片隅に!

第2問 [2] データの分析

60点あたりを目指すならおいしい単元、逆に満点を目指す人にとってはしょーもない計算がまどろっこしく時間がかかりうっとおしい単元ですね^^;

内容で難しいところはほとんどありませんが、定義を理解していないとまったく手が出ません

前半は解けるけど、後半わからないって学生さんは変量変換のところの知識が足りないためです。

簡単ですから、理解すること。

これを難しいと言っていては始まらないので、教科書でしっかりと言葉の意味をおさえていきましょう。

なぜ分散は二乗の平均なのか、なぜ相関係数が-1<r<1の間に収まるのかといった理由も交えながら頭に入れていくと理解も深まると思いますよ^^

満点狙いの学生さんは計算ミスには気を付けてください。

マークシートで桁が一致すると正解かのように錯覚しがちですが、時間の許す限り検算はしっかり行いましょう!

第3問 場合の数と確率

ここから選択問題です。

まずは場合の数と確率ですが、めっちゃ得意な人とめっちゃ苦手な人の両極端にわかれる単元です。

満点とれるときもあれば0点のときもある単元でもありますね。

明暗をわけるのは問題文の中の情報を正しく読み取り、絵を描くことで頭の中をしっかり整理することができるかどうかです。

センター試験では毎年オリジナリティを求めるあまり、いたずらにややこしい問題文をつくる傾向がありますが、もはやこれは日本語の読解問題ではないのかと思うことすら(笑)

学生のみなさん順列だの組合せだの、数珠順列だのと難しいことをたくさん学習してきたと思いますが、問題文が読み取れなくて全て無意味に終わるパターンが多いです。

また、場合の数を求める問題でおよそ10点、確率の計算でおよそ10点の配分となり、マークシートですので考え方の誘導もしっかりしているものがほとんどです。

ですので、問題文と合わせてそのあとの展開を誘導に沿って読み解いていくことで状況整理がやりやすくなったりもしますので、常に自分の捉えている状況が正しいのかどうかをチェックし続ける意識を持ってください。

どうすれば点がとれるのか。

学校の授業や問題集で場合の数と確率の学習を進めると、当たり前のことですが、順列習って順列の問題、組合せ習って組合せの問題を解くので、要は使う道具が明確な状況で問題を解く練習に終始してしまうところがあります。

それでは点に結び付きません。

大事なのはどの道具を使うかなんです!

さらにもっといえば道具の使いどころなんて必要に応じて出てくるものであって、使わずに終わってしまってもいいということです!

センター試験においての場合の数と確率なんて、言葉さえ理解していれば小学生でも解けるものがほとんどです。

小学生に戻ったつもりで、PだのCだのは一旦どっかに置いといて状況整理優先で攻略しましょう。

樹形図を描いたり、表を作ってみたり、頭の中を整理するための絵を描いてみたり、場合の数なんて全部書き出して数えてしまえばいいんです。

実際生徒がウンウン唸ってる横で僕がすべての場合の数を書き出して、それを指で数えて確率の計算まで全て終わらす時間はわずか5分ほどです。

高校で習う知識を披露する場面なんてほとんどありません。

条件付確率とはなんなのかといった言葉の定義くらいです。

是非、頭でっかちにならず自分なりの高速満点術を確立してください

あと、サイコロ系やカード系は得意だけど、通るルート系が苦手だとか得手不得手もあるかと思うので、苦手な系統の問題は問題集をいろんな種類仕入れてその手の問題だけをドリルしましょう。

次に検算について。

場合の数と確率は答えの妥当性を確かめるときに他の単元よりも精度があがります。

全ての確率を導いてそれを全部足せば1になることを利用して数え漏れがないか、想定外のパターンがないかの確認ができます。

これを踏まえても、すべて書き出すという方法は理にかなったやり方だと思います。

最後に、確率の問題は桁数が一致しても絶対に油断しないでください。

確率は、すべての場合の数分のそうなる場合の数ですから、分数で表せばいいのですが、その際約分ミスの可能性が他よりも増えます。

約分のチェックをするときも、2や3はチェックしたけど7で約分しわすれて桁が合わなかったとかのないように。

全ての場合の数は時に4桁5桁の大きな数字になりますが、掛け算しちゃってもどうせあとから約分の可能性があるので、素因数分解された形をキープしておくのもテクニックのひとつですよ^^

第4問 整数の性質

場合の数と確率や、図形の性質のどちらかが苦手だという学生さんの中には整数問題を選択する人は多いのではないでしょうか。

それ自体は立派な作戦ですので、だったら満点とれるようにしておきましょう。

くれぐれも、前半適当に解いても当たるから他よりマシって程度で選択することのないように(笑)

ここでは、一次不定方程式や互除法、n進法を使って解く問題が出てきます。

n進法が苦手だからそれ以外が出た時だけ選択するっていう作戦も全然アリだと思いますが、n進法とかめちゃめちゃ簡単でむしろオイシイと思いますよ!

難しいのはたまーに二次試験にでるような整数問題がでたときです。

基本誘導に乗っかって考えていけばわかるんですが、誘導が突飛すぎたり途中を省略しすぎたりしてる場合に一瞬何をすればいいのかわからなくなる場合があります。

その場合、詰みです(笑)

さっさと別の問題を解きなおすか諦めるかを判断してください。

とはいえセンター試験でそのような問題が出ることは稀なんで、基本的な問題をセオリー通りにとく訓練を積んでいれば間違いなく得点源にできる単元です。

互除法のような「やり方」はひっ算のやり方を覚えることができた人なら必ずできるもんなのでさっさとモノにしちゃってから、それでどんな問題が解けるようになるのかを勉強してくださいね!

パっと見互除法を使う必要のないような問題なら直接数字を当てはめてみるのも時間短縮には効果的です。

あとは、問題文に書かれている条件の見落としからくるミスのないように気を付けてください^^

第5問 図形の性質

最後の選択問題です。

図形の問題なので図をしっかり描くというのは共通していますが、第2問[1]の図形と計量の単元とは求められるスキルが別なので、まずはそこを把握すること。

第2問では三角比がメインとなるのに比べて、こちらではチェバ・メネラウス・方べきの定理といったものや、中学時代に学んだ二等分線の性質や相似なんかがメインになってきます。

この単元で満点とるにはどうすればいいか。

長年指導をしていて、圧倒的に図心のない人や、空間認知能力のない人の存在を確認してきました。

自分がそれに当てはまると思った学生さんは時間を無駄にせず他の選択問題に逃げましょう!

そうでもないなという学生さんは選択肢の一つに入れてもまぁまぁオイシイ単元だと思います。

ここで問われるものの種類は限られてます。

二次関数ほどではないにしろ、「チェバ知ってる?メネラウス知ってる?方べき使える?」って感じのものばかりなので、むしろこちらから「どれでくるの?」と構えておけばさほど難しい問題ではありません

ではこれらの中から今回は方べきの定理を例に、定理の覚え方を紹介します。

「 PA・PC=PB・PD 」だとかいう式は一切覚えなくて大丈夫です。

数式を覚えるだけではなんの意味もありませんし、使いようがありません。

意味を理解することが定理を覚えるということです!

僕なりに方べきの定理を日本語で説明しましょう。 

円があります

円の外でも中でもいいので点を1つ、適当にとります

点を通る直線を円に突き刺します

突き刺したら交点が2つできます

最初の点からそれぞれの交点までの長さを掛けるとある値になります

不思議なことにその値はどんな直線を引いても同じになります

直線が円に接するときは2つの交点が重なったと考えればギリ大丈夫です

以上が方べきの定理です。

まずはこのように覚え違いのないような解釈で覚えてしまうこと。

できることなら、「すげぇ!」って感動すること(笑)

そうすれば意識せずとも脳に刻み込まれますので。

次に、上の日本語解釈では「不思議なことに」と表現した部分の証明を考えてみる。

自分で証明できなかったり時間がない人なら教科書の証明をチェックするだけでも大丈夫です。

次に、方べきの定理は逆も成り立つことを確認してください。

こちらも証明できると完璧です^^

このような感じでひとつひとつの定理を理解するという過程において図形のセンスが磨かれていったり、補助線の発想や相似な図形を見つける速度が速くなっていきます

センター演習問題で点数が取れない場合、類似問題を繰り返すのもいいですが、ひとつの定理をしっかりものにするトレーニングも優先的にやることで点数は必ず上がりますよ!

対策・勉強法

以上設問別にサクッと解説をしてみましたが、最後にセンター数学ⅠA全体を見たときに気を付けるポイントや勉強法を書きたいと思います。

時間対策

まず多くの学生が苦しむのは時間の足りなさ。

センター試験の科目の中で1,2を争うくらいⅠAは時間が足りないようです。

でもそれについて僕が思うのは、「時間が足りない」っていうのは満点とれる人だけが言っていい言葉ですよね?ってこと。

時間さえあれば満点とれる前提で時間がないと焦るのはわかるんですが、時間あってもとれない人に時間いりませんよね?(笑)

ということで、まずは時間さえあれば満点できる力を身に付けましょう

さて、そこから実際問題70点や80点を狙う学生さんが言う「時間がない」について解決策を。

70点80点しかとるつもりがないのに、それでも時間がないってよっぽどじゃないですか?

同じ60分で満点狙ってる人は見直しも考えると大体1分で2点ずつ取っていかないといけません。

第1問なら30点満点なので15分、選択問題なら20点満点なので10分でおわらせる必要があるんです。

70点しかとらなくていいなら15分もあまる計算になります。

結構ゆっくり解けるハズ!

さらに解くスピードなんですが、時間がかかる=ゆっくりしか解けない=解法がなかなか出てこないってのは解けるうちに入らないという意識が欠如してると思うんです。

小学生の頃から12年も数学を勉強してきて、その成果を大学受験のセンター試験で発揮して大学に合格するんです。

そのセンター試験には時間制限があります。

そこで時間切れで泣くってことは、解けないのと同じです。

学校で習ってる過程において、「わかってるけど時間がかかる」ってのは、じゃぁそこからどう改善しようかって話になるんですが、大学受験では結果がすべてなので、解ける解けないの基準は時間内に解ける解けないってところに設定しなおしてください

そのために、センター演習を行う際は常にストップウォッチを横において、時間内に解く訓練をすること。

それを単元別にこなしていくと、時間内に満点とれる単元と、半分の時間で半分解答できるところ、5分オーバーすれば満点取れるところなど、自分の得点能力がわかってきます。

そのうえで次のステップ

60分でなるべく多くの点数を取るために、優先順位をつけて解答していく順番や、捨てる単元などの作戦を立てていく。

その作戦通りに時間を測って実際のセンター過去問(赤本)を解いて時間感覚を体に染み込ませる。

必ず予定通りにいかない場面が出てきますので、その時の手段を考えることにもなるでしょう。

70点80点を目指すならこういった作戦次第で点数は安定します。

是非参考にしてもらうと同時に、時間内に満点とれる単元を増やす練習をしてくださいね^^

単元別勉強法

上で話したような作戦を立てたり、苦手な単元を克服する際の勉強法は、黒本青本といったものを単元別に縦に解いていくというものをオススメします。

青本や黒本を一回ずつ60分で解いていくというやり方ではすでに得意な単元のドリルに終わってしまって、わからずに後回しにした本来やるべき単元には時間が割けずなんのメリットもありません

そのような勉強法は後の赤本での訓練に回すとして、まずは単元ごとの強化を試みましょう。

たかだか1000円程度の問題集なので、やってないところを勿体ないと思う必要もないです。

そうすることでもっと勿体ないことになりかねませんので(笑)

単元別にただ問題を解けばいいというものでもありません。

まずは1回分やってみて、まったく歯が立たないようなら教科書や参考書に戻って必要事項を確認する作業から始めてください。

また、それで2回目3回目が解けたからといってそこでやめたりしないでください。

二次関数のような単元ならまだしも、各単元様々な出題の仕方やその問題では求めていないスキルもあります。

本番どれがでるかはわからないので、全部解くように。

青本や黒本のような問題集は過去の駿台模試や全統模試をリメイクしたものです。

第7回、8回まで全て解いてはじめて網羅性が高まります

また、青、黒、白、緑本とそれぞれ癖が違いますのでまずは黒本の単元をすべて解答を見ずに時間内に解けるようにしてから、次の問題集へと進むようにしましょう。

4冊やれば20問以上の似たような異なる問題に触れることができます。

時間がない場合でも黒、青の2冊分くらいはこなしましょう。

攻略する単元の優先順位は人それぞれです。

上で言及してる通り、やはりどうしても苦手な単元は人によっては存在します。

かといって苦手を克服しようとしているのに、やる前から苦手意識を持ちすぎるのもよくないのですが、苦手意識なんてもんは持ちたくて持ってるわけじゃないですもんね(笑)

ウジウジと悩む時間があるなら、この単元ならやってみようかなと思えるところからさっそく取り掛かるのがデキるようになる人ですよ^^

文系でセンター試験でしか数学を利用しない学生さんへ。

センター試験の数学は学校の中間期末テストや、外部模試の記述試験に比べれば難易度はかなり低く、幅広く基本的なことを聞いてくる内容になっています。

僕がいままで指導した文系の数学苦手な学生さんの中には、数学苦手だけど本番7割とれた子なんかは多くいます。

全科目7割とれれば、金沢大学レベルになります。

苦手科目で7割とれるなんて夢のようですが、実はセンターに限っては苦手意識なんて持つだけ損なくらい点はとれるものです。

もちろんやることやればの話ですが(笑)

やることは多く大変ですが、みなさんの夢にはその労力を払うだけの価値があります

頑張ってみてくださいね^^

まとめ

かなり長くなったのでまとめ作っておきます!

気合

ではでは^^ノ

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